一、 前言
在日常生活中，我們總會買些帶包裝的飲料，如金屬包裝的、塑料包裝的、紙質(zhì)包裝的，在包裝的外形方面也有各種各樣的形狀，有圓柱形、長方體等形狀，飲料的包裝設(shè)計包含了一定的數(shù)學(xué)原理，對于包裝的設(shè)計要考慮成本因素外，還須考慮生態(tài)環(huán)境的保護，便于攜帶等因素，因此，廠家在設(shè)計包裝時就要從上述方面入手。通過對本課題的研究，得出對飲料的包裝的一種較為合理的設(shè)計方案，同時通過我們的親身參與，使我們能夠更深入的了解自然，走向社會，養(yǎng)成科學(xué)的精神和態(tài)度，提高綜合運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。
二、 研究的內(nèi)容
（1） 飲料的體積固定時不同的包裝的形狀對所用材料的多少的影響及對制造容器時的工作量的影響；
（2） 飲料包裝的材料選擇及包裝的發(fā)展方向。
三、 有關(guān)數(shù)據(jù)的采集
在周六等課余時間我們到超市等場所測量了相關(guān)數(shù)據(jù)
表一：易拉罐的相關(guān)數(shù)據(jù)（鋁質(zhì)包裝）
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品種 |
高（cm） |
底面半徑（cm） |
體積（cm3） |
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雙鹿啤酒 |
11.9 |
3.15 |
350 |
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椰子汁 |
13.2 |
2.65 |
250 |
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旺仔牛奶 |
8.5 |
3.2 |
245 |
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露露飲料 |
16.8 |
3.2 |
500 |
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健力寶 |
10.2 |
3.25 |
330 |
四、有關(guān)易拉罐制造成本問題的數(shù)學(xué)建模及計算過程
假設(shè)易拉罐的上、下底面及側(cè)面所用的材料相同，則在相同的體積情況下，哪種飲料所用的材料最少則成本就越低，也就最合理，
① 易拉罐（雙鹿啤酒）的表面積S=2π×3.15×11.9+2π×3.152≈297.8（cm2）
每立方厘米啤酒所需包裝材料是297.8/350=0.85（cm2）
② 易拉罐（椰子汁）的表面積S=2π×2.65×13.2+2π×2.652≈264（cm2）
每立方厘米椰子汁所需包裝材料是264/250=1.06（cm2）
③ 易拉罐（旺仔牛奶）的表面積S=2π×3.2×8.5+2π×3.22≈235（cm2）
每立方厘米旺仔牛奶所需包裝材料是235/245=0.96（cm2）
④易拉罐（露露飲料）的表面積S=2π×3.2×16.8+2π×3.22≈402（cm2）
每立方厘米露露飲料所需包裝材料是402/500=0.804（cm2）
⑤易拉罐（健力寶）的表面積S=2π×3.25×10.2+2π×3.252=274（cm2）
每立方厘米健力寶飲料所需包裝材料是274/330=0.83（cm2）
從上面五種飲料的計算結(jié)果可以看出，在相同體積的情況下，露露飲料所用的材料要比其它飲料的少，即節(jié)省了資源。那么，從節(jié)省資源的角度來說，何種設(shè)計是最合理的呢？
設(shè)易拉罐的高為h，底面圓半徑為r，由圓柱的體積公式V=
πr2·h，得h=V/πr2，又易拉罐的表面積S=2πr2 +2πr h，所以S=2πr2 +2V/r
按設(shè)計要求知，體積V是常數(shù)，半徑r是變量，表面積S是r的函數(shù)，故問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：當(dāng)r取何值時函數(shù)S取最小值？
由S=2πr2 +2V/r =2πr2 + V/r + V/r≥3 =3, 當(dāng)且僅當(dāng)2πr2 = V/r ，即r =時，易拉罐具有最小的表面積3 ，此時易拉罐的高h =2r。也即當(dāng)易拉罐設(shè)計成等邊圓柱時，消耗的材料最少。
五、飲料包裝的材料的選擇及發(fā)展方向
市場上飲料的包裝除了用鋁合金作原料外，還有許多用了紙質(zhì)包裝和塑料來作包裝，制造易拉罐用的鋁錠中鋁的含量在97%以上，另含有微量的鐵、錳、鎂、銅、鋅等，用紙質(zhì)來作包裝材料在材料價格上要便宜些，對環(huán)境也可起保護作用，但紙質(zhì)包裝容易破損，在飲料的保質(zhì)期上也遠遠不如用鋁合金作包裝的長，用塑料（聚乙烯）作包裝材料同樣在價格上便宜，但一個明顯的不足是對環(huán)境的影響較大，穩(wěn)定性好，不易分解，容易造成污染。
近幾年來，包裝工業(yè)正在進行著一場技術(shù)革新 綠色包裝，它是指可以回收利用的、不會對環(huán)境造成污染的包裝，其內(nèi)涵為資源的再生利用和環(huán)境保護，綠色包裝發(fā)源于1987年聯(lián)合國環(huán)境與發(fā)展委員會發(fā)表《我們共同的未來》，到1992年6月聯(lián)合國與環(huán)境與發(fā)展大會通過《里約環(huán)境與發(fā)展宣言》、《21世紀議程》，在全世界范圍內(nèi)掀起了一個以保護生態(tài)環(huán)境為核心的綠色浪潮。“綠色包裝”（Green package）有人稱作：“環(huán)境之友包裝”（Enviromental
Fiendly package）或生態(tài)包裝（Ecological package）。綠色包裝應(yīng)是：對生態(tài)環(huán)境和人體健康無害，能循環(huán)復(fù)用和再生利用，可促進持續(xù)發(fā)展的包裝。也就是說包裝產(chǎn)品從原材料的選擇、產(chǎn)品制造、使用、回收和廢棄物的整個過程均應(yīng)符合生態(tài)環(huán)境保護的要求。它包括了節(jié)省資源、能源、減量、避免廢棄物的產(chǎn)生，易回收復(fù)用，再循環(huán)利用，可焚燒或降解等生態(tài)環(huán)境保護要求的內(nèi)容。也就是世界工業(yè)發(fā)達國家要求包裝做到的“3R”和“1D”（Reduce減量化、Reuse重復(fù)使用、Recycle再循環(huán)和Degradable可降解）原則。
六、小結(jié)
鑒于對以上的材料分析，我們認為對于飲料的包裝設(shè)計材料若選擇塑料（聚乙烯）為原料，雖然成本較低，但由于對它的降解性的研究方面作的還不夠，對環(huán)境影響很大，因而不宜采用，而應(yīng)選擇可回收再利用的金屬或較容易分解的紙質(zhì)為包裝材料更恰當(dāng)，并且在外形制作上以選擇等邊圓柱形比較合適。
指導(dǎo)老師：劉偉杰
課題研究小組成員：朱海霞 蔣清清 吳淑芳 鄭靖慷 富吉勇 林建南 鄭明星 張 鎮(zhèn)
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